未成年の子供には必ず親権者が必要

成年に達しない子は、父母の親権に服さないといけません（民法第818条第1項）。親は子供の衣食住全般を世話し、しつけや教育の義務を負います（民法第820条）。また、子供の財産を管理し、それに関する法律行為も代理します（民法第824条）。
離婚に際しては、この親権者を決めないと離婚届は受理されません。
親権者の決定は、子供の年齢、育児や教育など離婚後の養育環境、経済的問題など子供の福祉を考えて、夫婦どちらの監護・養育能力が子供に適しているかという基準のもとに話し合います。また、お子さんがある程度判断能力のある年齢ならば、お子さんの意思を尊重することも大切です。
ちなみに統計では80％以上、母親が全児の親権者になっています。

子供の利益が最優先

「可愛いから手放したくない！」という親のエゴだけでは、おそらく話し合いはまとまりません。
もし協議が整わなければ最終的に家庭裁判所の判断を仰ぐことになりますが、裁判所も子供の利益を第一に考え、父母双方の事情を考慮し総合的に判断します。ただ子供の成育、特に幼児期の子供にとって、母親（母性）を重視する傾向にあるといえるかもしれません。
なお、一度親権者を決めても、親権者として不適当な事実が明らかになり、子供の利益のために必要があると認められる場合には、親権者の変更を家庭裁判所に申し立てることもできます。